In WordPress è semplice effettuare il logging degli errori di invio delle email.
La soluzione è la seguente:
add_action( 'wp_mail_failed', 'my_log_wp_mail_errors', 10, 1 );
function my_log_wp_mail_errors( $wp_error ) {
$mail_error_msg = $wp_error->get_error_message();
// Qui possiamo loggare l'errore, su database o su file.
}