L'algoritmo Heap Sort

Heap Sort è un algoritmo di ordinamento basato sulla struttura dati denominata heap. È noto per la sua efficienza e per la sua complessità temporale di $O(n \log n)$ nel caso peggiore, medio e migliore. Questo lo rende una scelta interessante per molte applicazioni pratiche dove è necessario ordinare grandi quantità di dati. In questo articolo, esploreremo come funziona Heap Sort, la struttura dati heap e l'implementazione dell'algoritmo.

Un heap è una struttura dati che può essere vista come un albero binario completo, il che significa che tutti i livelli dell'albero sono completamente riempiti tranne forse l'ultimo livello, che è riempito da sinistra a destra. Ci sono due tipi di heap:

• Max-Heap: Ogni nodo è maggiore o uguale ai suoi figli.
• Min-Heap: Ogni nodo è minore o uguale ai suoi figli.

Heap Sort utilizza un max-heap per ordinare i dati in ordine crescente e un min-heap per ordinare i dati in ordine decrescente.

Heap Sort può essere diviso in due fasi principali:

1. Costruzione dell'Heap: Trasformare l'array in un max-heap.
2. Ordinamento: Estrarre ripetutamente l'elemento massimo dal max-heap e ricostruire il heap con i restanti elementi.

Per costruire un max-heap, si utilizza un processo chiamato "heapify". Heapify garantisce che un sottoalbero con radice nel nodo i soddisfi la proprietà di max-heap. Questo viene fatto partendo dai nodi interni più profondi e risalendo fino alla radice.

Una volta costruito il max-heap, il passo successivo è ordinare l'array. Questo viene fatto scambiando il primo elemento (il massimo) con l'ultimo elemento dell'heap e riducendo la dimensione dell'heap di uno. Poi, si chiama heapify sulla nuova radice per ristabilire la proprietà del max-heap. Questo processo viene ripetuto fino a quando tutti gli elementi sono ordinati.

Complessità

• Tempo: Heap Sort ha una complessità temporale di $O(n \log n)$ per tutte le fasi dell'algoritmo. Questo lo rende più efficiente rispetto ad altri algoritmi di ordinamento come Bubble Sort e Insertion Sort, specialmente per grandi dataset.
• Spazio: Heap Sort è un algoritmo in-place, il che significa che non richiede memoria aggiuntiva significativa oltre all'array di input. La complessità spaziale è $O(1)$.

Vantaggi

• Efficienza garantita con una complessità di $O(n \log n)$.
• Algoritmo in-place, non richiede memoria aggiuntiva significativa.
• Funziona bene per dataset di grandi dimensioni.

Svantaggi

• Non è stabile; elementi con valori uguali potrebbero non mantenere il loro ordine relativo.
• Per piccoli dataset, può essere più lento rispetto ad algoritmi più semplici come Insertion Sort.

Conclusione

Heap Sort è un algoritmo potente e versatile per l'ordinamento dei dati, adatto per situazioni in cui è richiesta un'alta efficienza. La comprensione della struttura dati heap e della logica di heapify è cruciale per implementare correttamente questo algoritmo. Con la sua complessità temporale garantita di $O(n \log n)$ e l'utilizzo efficiente della memoria, Heap Sort rimane una scelta solida per molti problemi di ordinamento.